一、有理數(shù)基本概念

1.正數(shù)與負(fù)數(shù)

正數(shù)

我們把以前學(xué)過的數(shù)大于零叫做。有時(shí)在正數(shù)前面也加上“+”(正)號(hào)。如+0.5、+3、+1/2……“+”號(hào)可以省略。

負(fù)數(shù)

我們把在以前學(xué)過的數(shù)(0除外)前面加上負(fù)號(hào)“-”的數(shù)叫做。如-3、-0.5、-2/3……

0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0是正負(fù)數(shù)的分界。

正數(shù)與負(fù)數(shù)可以用來表示具有相反意義的量。

相反意義的量包含兩個(gè)要素：一是它們的意義要相反;二是它們都具有數(shù)量。與一個(gè)量成相反意義的量不止一個(gè)。

2．有理數(shù)

正整數(shù)、0統(tǒng)稱自然數(shù);正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。

有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱

整數(shù)可以看做分母為1的分?jǐn)?shù)。正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。

有理數(shù).

可以這樣說:有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式;能寫成分?jǐn)?shù)(分子分母互質(zhì))形式的數(shù)是

有理數(shù)的分類(兩種)

3.

數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做。

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度

任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大;原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).

4.相反數(shù)

一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個(gè)，他們分別在原點(diǎn)的左右，表示-a和a，我們說這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

互為相反數(shù)

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做.(絕對(duì)值相等，符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做)

正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0.

在一個(gè)數(shù)前面添上“-”號(hào),表示這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0。(互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等。)

6.比較大小

(1)數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

(2)方法總結(jié)：

兩個(gè)正數(shù)比較大小，與小學(xué)一致;正數(shù)與零比較，正數(shù)大于零;正數(shù)與負(fù)數(shù)比較，正數(shù)大于負(fù)數(shù);負(fù)數(shù)與零比較，負(fù)數(shù)小于零;兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小。

二、 有理數(shù)的加減法

1.有理數(shù)的加法

有理數(shù)的加法法則

：(先確定符號(hào)，再算絕對(duì)值)

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加;

2.異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值;

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0;(如果兩個(gè)數(shù)的和為0，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù))

4.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

注：

兩個(gè)變化：減號(hào)變成加號(hào);減數(shù)變成它的相反數(shù)。

3.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

規(guī)則：

運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算

(為了書寫簡(jiǎn)便，可以把已經(jīng)統(tǒng)一為加法運(yùn)算的式子中各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略，寫成省略加號(hào)的和的形式。)

步驟：

(1)減法化加法;

(2)省略括號(hào)和加號(hào);

(3)運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便;

(4)運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。

注：

運(yùn)用加法運(yùn)算律時(shí)，可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：

(1)同號(hào)的先結(jié)合;

(2)同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合;

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;

(4)能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;

(5)帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。

三、有理數(shù)的乘除法

1.有理數(shù)的乘法

有理數(shù)的乘法法則：

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。

(2)任何數(shù)同0相乘，都得0.

倒數(shù)：

乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為。0沒有倒數(shù)。

多個(gè)有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：

(1)幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)。確定符號(hào)后，把各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘。

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積為0;反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)是0.

注：

帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘。

2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

(2)兩數(shù)相除(被除數(shù)不為0)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。

0除以任何不為0的數(shù)，都得0。

步驟：

先確定商的符號(hào)，再算出商的絕對(duì)值。

4.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

運(yùn)算順序：

從左往右進(jìn)行，將除法化成乘法后，進(jìn)行約分計(jì)算。

注：

(帶分?jǐn)?shù)應(yīng)首先化為假分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算)

5.有理數(shù)的四則混合運(yùn)算

運(yùn)算順序：

先乘除，后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的。

注：

除法一般先化為乘法，帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，合理使用運(yùn)算律。

四、有理數(shù)的乘方

乘方的規(guī)律：

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。

正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.

2.有理數(shù)的混合運(yùn)算

運(yùn)算順序：

(1)先乘方，再乘除，最后加減;

(2)同級(jí)運(yùn)算,從左到右進(jìn)行;

(3)如有括號(hào)，先算括號(hào)里的，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序。

3.科學(xué)記數(shù)法

4.近似數(shù)和有效數(shù)字

近似數(shù)

在實(shí)際問題中，由“四舍五入”得到的數(shù)或大約估計(jì)的數(shù)都是。(近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.)

有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的。一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)字。

精確度

：表示一個(gè)近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度。一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位。

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